Az 1980-as évek végén megjelennek az első menekültek Magyarországon, velük korábban a Kádár-korszakban nem lehetett találkozni. A Magyar Közvéleménykutató Intézet 1988-as vizsgálatai szerint a Romániából érkező menekültek befogadásával a lakosság nagy része egyetértett. Ehhez képest Gál Zoltán belügyminiszter-helyettes 1988 áprilisában arról beszélt, hogy „a csendes többség már ma sem nézi jó szemmel a román állampolgárok ügyének felkarolását, mert félti az életszínvonalát, munkahelyét, gyermekei lakáshoz jutását és egyéb társadalmi értékeit”.
A Menedék Bizottságot Ara-Kovács Attila, Donáth László, Könczöl Csaba, Lengyel Gabriella, Radnóti Sándor, Szent-Iványi István, Szilágyi Sándor, Tamás Gáspár Miklós és Törzsök Erika független állampolgári kezdeményezésként alakította meg 1988. január 28-án. A munkába bekapcsolódott még Fényi Tibor, Antalffy Mária, Rády Árpád, Danis György, Tamás Noémi, Buda Géza, Bodnár Éva és Zachariás Klára is.
A Romániából érkező menekültek növekvő száma ösztönözte cselekvésre őket, különösen az a januári hír, miszerint a magyar hatóságok legalább 50 romániai menekültet utasítottak ki.
A szervezet célként tűzte ki a Romániából érkező menekültek „égetően szükséges” gyakorlati megsegítését szállás- és munkaközvetítéssel, orvosi, jogi és átmeneti anyagi támogatással. Emellett fontos célként fogalmazódott meg a magyar és a külföldi közvélemény folyamatos tájékoztatása a menekültek helyzetéről, a hatóságok eljárásának ellenőrzése és a lobbizás.
A Menedék Bizottság különbözött más olyan társadalmi kezdeményezésektől, amelyek a menekültekben elsősorban (vagy csakis) a magyar nemzethez tartozó erdélyi honfitársakat látták: „Mi nem szűkítjük le ezt az egész problémát csak Erdély vagy a romániai magyarság kérdésére. Mi ugyanúgy segíteni próbálunk a többi román vagy német nemzetiségű menekültön is. Sőt, úgy látjuk, hogy az ő helyzetük – sok okból – még nehezebb, mint a magyar menekülteké.”
Rögtön megalakulásuk után felhívásban vázolták fel menekültpolitikai elképzeléseiket. Ebben felszólították a kormányt, hogy hirdessen amnesztiát az illegálisan itt tartózkodó romániai menekülteknek, és adjon nekik legalább ideiglenes tartózkodási engedélyt. Következő lépésként pedig azt javasolták, hogy a kormány, „mérlegelve az ország teherbíró-képességét”, állapítson meg legalább évenként egy bevándorlási keretszámot vagy kvótát a letelepedni kívánó román állampolgároknak, beleértve az illegálisan érkezőket is.
Abból a feltevésből indultak ki, hogy nem átmeneti jelenségről van szó, hanem a romániai migránsok csoportjaival az elkövetkező években is számolni kell. Elképzelésük szerin „preferenciát élveznének a magyar eredetű, anyanyelvű, kultúrájú személyek”.
A Menedék Bizottság szerint az átjövők ügyeivel „országgyűlési ellenőrzés alatt álló, a rendőrségtől független kormányhivatalnak” kellene foglalkoznia: „mondassék ki, hogy soha senkit nem szolgáltatnak ki ezentúl Ceauşescu titkosrendőrségének.
1989. január 6-án a Menedék Bizottság az SZDSZ ügyvivői testületével közös nyilatkozatban sürgette az 1951. évi genfi konvencióhoz való csatlakozást. Enélkül a két szervezet nem támogatja menekülttáborok felállítását. A csatlakozás még az évben megtörtént, a genfi menekültügyi egyezmény a magyar jog részévé vált. 2015 óta leginkább már csak papíron.